Question

（2012•寧德質檢）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=2x+2交x軸于點A，交y軸于點B，將△AOB繞原點O順時針旋轉90°后得到△COD，拋物線l經過點A、C、D．
（1）求點A、B的坐標；
（2）求拋物線l的解析式；
（3）已知在拋物線l與線段AD所圍成的封閉圖形（不含邊界）中，存在點P（a，b），使得△PCD是等腰三角形，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據直線y=2x+2交x軸于點A，交y軸于點B，分別令x=0，求出y的值，令y=0，求出x值，于是A、B兩點的坐標可求出；
（2）設拋物線x的解析式是y=ax²+bx+c（a≠0），由旋轉可知：OC=OA=1，OD=OB=2，把A（-1，0），C（0，1），D（2，0）代入解析式，求出a、b、c的值，拋物線的解析式即可求出；
（3）首先根據勾股定理求出CD的長度，若△PCD是等腰三角形，則有以下三種情況：①當CP=CD時，②當DP=DC時，③當PC=PD時，分別求出a的取值范圍即可．

解答：解：（1）當x=0時，y=2；
當y=0時，由2x+2=0得x=-1．
∴A（-1，0），B（0，2）；

（2）由旋轉可知：OC=OA=1，OD=OB=2，
∴C（0，1），D（2，0）．
設拋物線x的解析式是y=ax²+bx+c（a≠0）．
依題意，得

a-b+c=0 c=1 4a+2b+c=0

，
解得

a=- 1 2 b= 1 2 c=1

，
∴拋物線l的解析式是y=-

1

2

x²+

1

2

x+1；

（3）在Rt△COD中，由C（0，1），D（2，0）可得CD=

22+12

=

5

，
若△PCD是等腰三角形，則有以下三種情況：
①當CP=CD時，此時點P在拋物線l與線段AD所圍成的封閉圖形外，不合題意；
②當DP=DC時，以點D為圓心，DC長為半徑畫弧交x軸于點H，此時點P在

CH

上（不含點C、H），
此時a的取值范圍是-

5

+2＜a＜0；          
③當PC=PD時，作線段CD的垂直平分線FG，交CD于點E，交x軸于點F，交拋物線于點G．
此時點P在線段FG上（不含點F、G、E），
求得 E（1，

1

2

），DE=

5

2

．
在Rt△DEF，Rt△DOC中，cos∠CDO=

DE

DF

=

DO

DC

，
∴

5 2

DF

=

2

5

，解得DF=

5

4

，
∴OF=2-

5

4

=

3

4

，即F（

3

4

，0）．
易得過E、F的直線解析式是y=2x-

3

2

，聯(lián)立方程組得

y=2x- 3 2 y=- 1 2 x2+ 1 2 x+1

，
解得x₁=

-3+ 29

2

，x₂=

-3- 29

2

（舍去），
∴點G的橫坐標是

-3+ 29

2

，
此時a的取值范圍是

3

4

＜a＜

-3+ 29

2

，且a≠1．
綜合①②③，當△PCD是等腰三角形時，a的取值范圍是-

5

+2＜a＜0或

3

4

＜a＜

-3+ 29

2

，且a≠1．

點評：本題主要考查二次函數的綜合題，此題設計直線與拋物線的交點問題，解答（3）問時需要進行分類討論，此問同學們容易出現(xiàn)討論不全的情況，此題難度較大．