Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點D為函數y=

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x

（x＞0）上 的一點，四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠B=90°，A（0，3），C（4，0），點P從A出發，以3個單位/秒的速度沿直線AD向右運動，點Q從點C同時出發，以1個單位/秒的速度沿直線CB向左運動．
（1）求點D的坐標；
（2）從運動開始，經過多少時間以P、Q、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形？
（3）若點M在y軸上，當t=

2

3

秒且△PCM為等腰三角形時，求直線CM的解析式．

Answer 1

分析：（1）解析式和縱坐標都知道，從而可求解．
（2）因為有PD∥QC，只要求出PD=QC即可．
（3）為等腰三角形有三種情況，PC=MC，MC=PM，PM=PC，從而可求出解．

解答：解：（1）∵點D的縱坐標為3，∴3=

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x

，∴x=6，∴D（6，3）（2分）

（2）設運動時間為t秒，則AP=3t，PD=|6-3t|，CQ=t．
∵PD∥CQ，故當PD=CQ時，可得平行四邊形，∴|6-3t|=t，
則6-3t=t，或6-3t=-t．∴t=1.5秒或3秒．（4分）

（3）當t=

2

3

S時，AP=

2

3

×3=2，P為（2，3）．
設M（0，y），則MC²=OM²+OC²=4²+y²，PM²=PA²+AM²=2²+（3-y）²
PC²=PE²+CE²=3²+2²
∵△PMC為等腰三角形
①若PC=MC，則3²+2²=4²+y²，方程無解；        （5分）
②若MC=PM，則4²+y²=2²+（3-y）²，y=-

1

2

；          （6分）
③若PM=PC，則2²+（3-y）²=3²+2²，y=6或0；       （7分）
∴M₁（0，-

1

2

），M₂（0，0），M₃（0，6）．
當M₁為（0，-

1

2

） 時，設直線MC解析式為y=kx-

1

2

．
將C（4，0）代入求得k=

1

8

，則直線MC為：y=

1

8

x-

1

2

；       （8分）
當M₂為（0，0）時，C（4，0），M（0，0）均在x軸上，
故直線MC為：y=0（或x軸），（9分）
當M₃為（0，6）時，直線MC為：y=-

3

2

x+6，但P（2，3）代入成立，
即P、M、C三點共線，△PCM不存在，故舍去．            （10分）
綜上知：直線MC為：y=

1

8

x-

1

2

，或y=0    （11分）

點評：本題考查的是反比例函數的綜合題，以及平行四邊形的判定定理，等腰三角形的判定定理．