Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線AC：y＝x＋8與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝ax²＋bx＋c過點A、點C，且與x軸的另一交點為B(x₀，0)，其中x₀＞0，又點P是拋物線的對稱軸l上一動點．

(1)求點A的坐標，并在圖1中的l上找一點P₀，使P₀到點A與點C的距離之和最��；

(2)若△PAC周長的最小值為10＋2，求拋物線的解析式及頂點N的坐標；

(3)如圖2，在線段CO上有一動點M以每秒2個單位的速度從點C向點O移動(M不與端點C、O重合)，過點M作MH∥CB交x軸于點H，設M移動的時間為t秒，試把△P₀HM的面積S表示成時間t的函數，當t為何值時，S有最大值，并求出最大值；

(4)在(3)的條件下，當S＝時，過M作x軸的平行線交拋物線于E、F兩點，問：過E、F、C三點的圓與直線CN能否相切于點C？請證明你的結論．(備用圖圖3)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意直線AC與x軸的交點， 　　所以當y＝0，則x＝－6， 　　所以點A(－6，0)． 　　同理點C(0，8)， 　　設點A關于y軸對稱點為B(，0)， 　　由題意則＝2x0＋6． 　　則直線BC為y＝－x＋8， 　　代入x＝x0，則y＝－x0＋8， 　　所以該點為(x0，x0＋8)， 　　即(x0，－＋8)； 　　(2)由(1)可知三角形PAC最小即為AC＋BC＝10＋2， 　　＋＝10＋2， 　　解得x0＝2或x0＝－8(不符舍去)， 　　則點B(10，0)， 　　由點A，B，C三點的二次函數式為y＝－x2＋x＋8． 　　點N(2，16)； 　　(3)如圖，作MN⊥BC與N， 　　則在三角形OBC∽三角形CMN， 　　所以， 　　即h＝t． 　　因為MH∥BC， 　　所以， 　　解得MH＝BC＝×2＝(8－2t)， 　　S＝MHh＝×(8－2t)×t＝－t2＋t， 　　因為每秒移動2個單位， 　　則當t＝2時符合范圍0＜t＜4， 　　所以當t為2時S最大； 　　(4)把S的取值代入(3)中表達式中求得t， 　　從而得到點M的坐標， 　　S＝，即＝t2＋t 　　則解得t＝2， 　　則由題意知CEF三點所在圓半徑為4， 　　所以直線CN與CFE所在圓相切．