Question

17．如圖，拋物線y=ax²+bx-2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，已知A（-1，0），且tan∠ABC=$\frac{2}{3}$
（1）求拋物線的解折式．
（2）在直線BC下方拋物線上一點P，當四邊形OCPB的面積取得最大值時，求這個最大值，并求此時點P的坐標．
（3）在y軸的左側拋物線上有一點M，滿足∠MBA=∠ABC，若點N是直線BC上一點，當△MNB為等腰三角形時，求點N的坐標．
 

Answer 1

分析 （1）由解析式求得C的坐標，然后根據tan∠ABC=$\frac{2}{3}$求得OB=3，從而求得B的坐標，進而根據待定系數法即可求得解析式；
（2）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點E，設P（x，x²-2x-3），易得，直線BC的解析式為y=x-3則Q點的坐標為（x，x-3），再根據S_{四邊形OBPC}=S_△OBC+S_△BPQ+S_△CPQ即可得出結論．
（3）根據題意求得M的坐標，然后分三種情況討論求得即可．

解答 解：（1）由拋物線y=ax²+bx-2可知C的坐標為（0，-2），
∴OC=2，
∵tan∠ABC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{2}{3}$
∴OB=3，
∴B（3，0），
∵A（-1，0），
把A、B的坐標代入y=ax²+bx-2得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b-2=0}\\{9a+3b-2=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解折式為y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2；
（2）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點E，
設P（x，$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2），
設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵B（3，0），C（0，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{2}{3}$x-2．
∴Q點的坐標為（x，$\frac{2}{3}$x-2），
∴S_{四邊形OBPC}=S_△OBC+S_△BPQ+S_△CPQ
=$\frac{1}{2}$OB•OC+$\frac{1}{2}$QP•OE+$\frac{1}{2}$QP•EB
=$\frac{1}{2}$×3×2+$\frac{1}{2}$（2x-$\frac{2}{3}$x²）×3
=-x²+3x+3
=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∴當x=$\frac{3}{2}$時，四邊形ABPC的面積最大，最大面積為$\frac{3}{4}$．此時P點的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
（3）設直線AM交y軸于D，
∵∠MBA=∠ABC，
∴OD=OC=2，
∴D（0，2），
設直線AM的解析式為y=mx+2，
代入B（3，0）得0=3m+2，解得m=-$\frac{2}{3}$，
∴直線AM的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+2，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{3}x+2}\\{y=\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{4}{3}x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴M（-2，$\frac{10}{3}$），
設N（x，$\frac{2}{3}$x-2），
∵BM²=（3+2）²+（$\frac{10}{3}$）²，MN²=（x+2）²+（$\frac{2}{3}$x-2-$\frac{10}{3}$）²，BN²=（x-3）²+（$\frac{2}{3}$x-2）²，
當MB=BN時，N（-2，-$\frac{10}{3}$）或（8，$\frac{10}{3}$）；
當MB=MN時，則（3+2）²+（$\frac{10}{3}$）²=（x+2）²+（$\frac{2}{3}$x-2-$\frac{10}{3}$）²，
整理得13x²-28x-33=0，
解得x₁=3，x₂=-$\frac{11}{13}$，
∴N（-$\frac{11}{13}$，-$\frac{100}{39}$）；
當BN=MN時，（x+2）²+（$\frac{2}{3}$x-2-$\frac{10}{3}$）²=（x-3）²+（$\frac{2}{3}$x-2）²，
整理得10x=-35，
解得x=-$\frac{7}{2}$
∴N（-$\frac{7}{2}$，-$\frac{13}{3}$）；
綜上，點N的坐標為（-2，-$\frac{10}{3}$）或（8，$\frac{10}{3}$）或（-$\frac{11}{13}$，-$\frac{100}{39}$）或（-$\frac{7}{2}$，-$\frac{13}{3}$）．

點評 本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求二次函數及一次函數的解析式、三角形的面積公式等知識，難度適中．本題考查了二次函數綜合題型．其中涉及到了待定系數法求二次函數、一次函數解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質．注意，對于動點問題，需要分類討論