Question

【題目】如圖，已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，OD∥BC，交⊙O于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BD，BD交AC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)P，連接PB．

（1）若PF=PB，求證：PB是⊙O的切線；
（2）如果AB=10，BC=6，求CE的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PF=PB，

∴∠PFB=∠PBF，

又∵∠DFE=∠PFB，

∴∠DFE=∠PBF，

∵AB是圓的直徑，

∴∠ACB=90°，即AC⊥BC．

又∵OD∥BC，

∴OD⊥AC．

∴在直角△DEF中，∠D+∠DFE=90°，

又∵OD=OB，

∴∠D=∠DBO，

∴∠DBO+∠PBE=90°，即PB⊥AB，

∴PB是⊙O的切線；

（2）解：∵OD∥BC，OA=OB，

∴OE= BC= ×6=3．

∵OD⊥AB，

∴EC=AE．

∵在直角△OAE中，OA= AB= ×10=5，

∴AE= = =4．

∴EC=4．

【解析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角以及對(duì)頂角相等可以證得∠DFE=∠PBF，∠D=∠DBO，然后根據(jù)圓周角定理證明△DEF是直角三角形，據(jù)此即可證得∠PBA=90°，從而證明PB是切線；（2）根據(jù)三角形的中位線定理求得OE的長(zhǎng)，然后根據(jù)垂徑定理即可求解．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用切線的判定定理，掌握切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線即可以解答此題．