Question

（2013•太原）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，點P是直徑AB上的一點（不與A重合），過點P作AB的垂線交BC于點Q．
（1）在線段PQ上取一點D，使DQ=DC，連接DC，試判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由．
（2）若cosB=

3

5

，BP=6，AP=1，求QC的長．

Answer 1

分析：（1）連結OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根據QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，則∠1+∠2=90°，再利用平角的定義得到∠DCO=90°，然后根據切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；
（2）連結AC，由AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，根據余弦的定義得cosB=

BC

AB

=

BC

AP+BP

=

3

5

，可計算出BC=

21

5

，在Rt△BPQ中，利用余弦的定義得cosB=

PB

BQ

=

3

5

，可計算出BQ=10，然后利用QC=BQ-BC進行計算即可．

解答：解：（1）CD與⊙O相切．理由如下：
連結OC，如圖，
∵OC=OB，
∴∠2=∠B，
∵DQ=DC，
∴∠1=∠Q，
∵QP⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠Q+∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠DCO=180°-∠1-∠2=90°，
∴OC⊥CD，
而OC為⊙O的半徑，
∴CD為⊙O的切線；

（2）連接AC，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，cosB=

BC

AB

=

BC

AP+BP

=

3

5

，
而BP=6，AP=1，
∴BC=

21

5

，
在Rt△BPQ中，cosB=

PB

BQ

=

3

5

，
∴BQ=

6

3 5

=10，
∴QC=BQ-BC=10-

21

5

=

29

5

．

點評：本題考查了切線的判定：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查圓周角定理的推論以及解直角三角形．