Question

在平面直角坐標系中，點A₁，A₂，A₃，…，點B₁，B₂，B₃，…，均在x軸上，且OA₁=OA₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=A₁B₁=B₁B₂=B₂B₃=…=B_n-1B_n=2，分別以OA₁，OA₂，A₂A₃，…，A_n-1A_n，A₁B₁，B₁B₂，B₂B₃，…，B_n-1B_n為底邊的等腰三角形的第三個頂點C₁，C₂，C₃，…，C_n，D₁，D₂，D₃，…，D_n在直線y=x+2上，記△OA₁C₁的面積為S₁，△OA₂C₂的面積為S₂，…，△A_n-1A_nC_n的面積為S_n，記△A₁B₁D₁的面積為T₁，△B₁B₂D₂的面積為T₂，…，△B_n-1B_nD_n的面積為T_n，那么S₁=

1

，T₁+T₂=

4

，S₁+S₂+…+S_n+T₁+T₂+…+T_n=

2n²．

．

Answer 1

分析：如圖，如圖，過點C₁F⊥x軸于F、C₂⊥x軸于E，根據等腰三角形的性質就可以求出OF，OE的值，就可以得出F、E的坐標，根據直線的解析式就可以求出C₁F、C₂E的值，由三角形的面積公式就可以求出S₁、S₂…S_n，T₁、T₂…T_n的值，根據n個連續奇數的和的公式從而可以求出結論．

解答：解：如圖，過點C₁F⊥x軸于F、C₂⊥x軸于E，
∵△A₁C₁O和△OC₂A₂為等腰三角形，且OA₁=OA₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=A₁B₁=B₁B₂=B₂B₃=…=B_n-1B_n=2，
∴OF=OE=

1

2

OA₁=

1

2

OA₂=1，
∴F（-1，0），E（1，0），
∴C₁、C₂的橫坐標分別為：-1，1．
∵C₁、C₂都在y=x+2上，
∴C₁（-1，1），C₂（1，3），
同理可以求出C3、C4、C5…D1、D2、D3、D4…的坐標，
∴C₁F=1，C₂E=3，
∴S₁=

1×2

2

=1，S₂=

2×3

2

=3，S₃=

2×5

2

=5，…S_n=2n-1，
同理可得：T₁=

2×1

2

=1，T₂=

2×3

2

=3，T₃=

2×5

2

=5，、…T_n=2n-1，
∴T₁+T₂=1+3=4．
∵1+3=4=2²，
1+3+5=9=3²，
1+3+5+7=16=4²，
…
1+3+5+7+…+2n-1=n²
∴S₁+S₂+…+S_n+T₁+T₂+…+T_n=1+3+5+7+…+2n-1+1+3+5+7+…+2n-1，
=（1+3+5+7+…+2n-1）+（1+3+5+7+…+2n-1），
=n²+n²，
=2n²．
故答案為：1，4，2n²．

點評：本題考查了等腰三角形的性質的運用，點的坐標的運用，三角形的面積公式的運用，n個連續奇數求和公式的運用，解答本題時，根據規律求出每個三角形的面積是關鍵，運用規律求和是難點．