Question

【題目】如圖，已知BC是⊙O的直徑，AD切⊙于點A，CD∥OA交⊙O于另一點E．

（1）求證：△ACD∽△BCA；

（2）若A是⊙O上一動點，則

①當∠B＝_____時，以A，O，C，D為頂點的四邊形是正方形；

②當∠B＝_____時，以A，O，C，E為頂點的四邊形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①45°；②60°

【解析】

（1）證明∠BAC＝∠ADC與∠ACD＝∠ACO，即可證明△ACD∽△BCA；

（2）①當∠B＝45°時，以A，O，C，D為頂點的四邊形是正方形；②當∠B＝60°時，以A，O，C，D為頂點的四邊形是棱形．

解：（1）證明：∵AD 切⊙O 于點 A，

∴OA⊥AD，

∵CD∥OA，

∴∠ADC＝90°，

∵BC 是⊙O 的直徑，

∴∠BAC＝90°，

∴∠BAC＝∠ADC，

又∵CD∥OA，

∴∠ACD＝∠CAO，

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠CAO，

∴∠ACD＝∠ACO，

∴△ACD∽△BCA；

（2）①∵四邊形AOCD為正方形，

∴∠AOC＝90°，

∵OA＝OC，

∠OCA＝∠OAC＝45°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠B=90°﹣45°＝45°，

故答案為45°；

②連接AE，

∵AD為切線，

∴∠DAE＝∠ECA，∠OAD＝90°

∵四邊形AOCE為菱形，

∠OAC＝∠EAC，

∴∠DAE＝∠ECA＝∠OAC＝30°

∴∠ACO＝30°，

∴∠AOB＝∠ACO+∠OAC＝30°+30°＝60°

∵OA＝OB，

∴∠B＝60°．

故答案為 60°．