Question

如圖，已知直線m：y=-

1

2

x+b與x軸交于點A（15，0），交y軸于E點．以OA為一邊在第一象限內做矩形OABC，BC與直線m相交于點D，連接OD，OD垂直于直線m．
（1）求OD的長；
（2）點F在x軸上，設直線BF為n，直線m與直線n的交點P恰好是線段BF的中點，求直線n的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線m上是否存在一點Q，直線n上是否存在一點R，使得以O、A、Q、R為頂點，OA為一邊的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知A點的坐標，就可以知道OA的長，求出一次函數的解析式，就可以求出OE，AE的長，根據S_△OAE=

1

2

OA，OE=

1

2

AE，OD就可以求出OD的長；
（2）易證△OCD∽△AOE，可以求出OC的長，就是已知C的坐標，則可以得到B點的坐標．根據點P是FB的中點，點P的縱坐標就可以得到，代入解析式就可以求出橫坐標；
（3）存在．根據直線m，n的解析式的特點，就可以判斷．

解答：解：（1）設直線m與y軸交于點E，
把A（15，0）代入y=-

1

2

x+b，得b=

15

2

，
∴OE=

15

2

∴AE=

OA2+OE2

=

15

2

5

∵S_△OAE=

1

2

OA•OE=

1

2

AE•OD
∴OD=

OA．OE

AE

=3

5

；

（2）∵△OCD∽△AOE
∴

OC

OA

=

OD

AE

∴OC=

OD．OA

AE

=6
∴B點坐標為（15，6）
∵點P是FB的中點
∴點P的縱坐標為3
∴3=-

1

2

x+

15

2

∴x=9
∴P點坐標（9，3）設直線n的解析式為y=kx+b把B（15，6）和P（9，3）代入得：

15k+b=6 9k+b=3

，解得：

k= 1 2 b=- 3 2

∴直線n的解析式為y=

1

2

x-

3

2

；

（3）存在Q₁（

3

2

，

27

4

），Q₂（

33

2

，-

3

4

）．

點評：本題注意啊考查了三角形的面積的計算方法，可以求出直角三角形斜邊上的高線的長；求函數的解析式就可以轉化為求直線上點的坐標就可以．