Question

如圖所示，梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，∠ADC=60°，點A、D在x軸上，點A在點D的左側，點C在y軸的正半軸上，點D的坐標為（2，0）．動點P從點C出發，以每秒1個單位長度的速度，在折線段C-B-A上勻速運動到點A停止，設運動時間為t秒．
（1）求出點B、C的坐標；
（2）當t=4時，求直線DP的函數解析式及△DCP的面積；
（3）t為何值時，直線DP恰好將梯形ABCD分成面積比為1：2的兩部分？

Answer 1

【答案】分析：（1）由D的坐標得出OD的長，在直角三角形OCD中，由∠ADC=60°，利用銳角三角函數定義及特殊角的三角函數值求出OC的長，得出C的坐標，且求出∠OCD=30°，利用直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出CD的長，再由BC=CD=AB，得出CD與AB的長，過B作BF垂直于x軸，在直角三角形ABF中，由AB及∠BAD=60°，利用銳角三角函數定義及特殊角的三角函數值求出BF的長，由BC及BF即可得到B的坐標；
（2）當t=4時，根據每秒1個單位，求出CP=4，而BC=4，此時P與B重合，故設此時直線PD的解析式為y=kx+b，將B和D的坐標代入，得到關于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，確定出直線PD的解析式，三角形DCP以BC為底邊，BC邊上的高與OC相等，利用三角形的面積公式即可求出三角形DCP的面積；
（3）由BF=OC，OF=BC，利用AD=AF+OF+OD求出AD，然后由上底BC，下底AD及高OC，求出梯形ABCD的面積，分兩種情況考慮：（i）P在BC邊上時，由（2）求出的三角形DCP面積恰好等于梯形面積的，得到此時P與B重合，把P記作P₁，可得出t=4時，直線DP₁恰好將梯形ABCD分成面積比為1：2的兩部分；（ii）當P在AB邊上時，P記作P₂，過P₂作P₂G垂直于x軸，三角形AP₂D的面積以AD為底邊，高為P₂G，根據三角形AP₂D的面積為梯形面積的，列出關系式，求出P₂G的長，在直角三角形AP₂G中，由∠BAD=60°，利用銳角三角函數定義及特殊角的三角函數值求出AP₂的長，再由AB+BC-AP求出P₂運動的路程，即可求出此時的時間t，綜上，得到所有滿足題意的時間t的值．
解答：解：（1）∵點D的坐標為（2，0），即OD=2，∠ADC=60°，∠COD=90°，
∴OC=OD•tan60°=2，∠OCD=30°，
∴DC=2OD=4，
∴點C的坐標為（0，2），
∵AB=BC=CD，
∴BC=4，AB=4，
過點B作BF⊥AD于點F，
∵BC∥AD，
∴BF=CO=2，
∴點B的坐標為（-4，2）；

（2）當t=4時，CP=4，此時點P恰好與點B重合，記點P為P₁，
設直線DP₁的函數表達式為y=kx+b，
將B和D的坐標代入y=kx+b得：，
解得：，
∴直線DP₁的函數表達式為y=-x+，S_△DCP1=•BC•OC=×4×2=4；

（3）由（1）知：AF=AB•cos60°=4×=2，OF=BC=4，
∴AD=AF+OF+OD=8，
∴S_梯形ABCD=×（4+8）×2=12，
（i）當點P在BC上時，由（2）知，當t=4時，S_△DCP1=4=S_梯形ABCD，
∴當t=4時，直線DP₁將梯形ABCD分成面積比為1：2的兩部分；
（ii）當點P在AB上時，記點P為P₂，過點P₂作P₂G⊥AD于點G，
若S_△DCP2=S_梯形ABCD=×12=4，
則×AD×P₂G=4，又AD=8，
∴P₂G=，
∴P₂A===2，
∴CB+BP₂=AB+BC-P₂A=4+4-2=6，
此時t=6，
綜上，當t=4或t=6時，直線DP恰好將梯形ABCD分成面積比為1：2的兩部分．
點評：此題考查了坐標與圖形性質，銳角三角函數定義，含30°直角三角形的性質，等腰梯形的性質，以及利用待定系數法求一次函數解析式，利用了數形結合及分類討論的思想，是一道綜合性較強的試題．