Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、D兩點，與y軸交于點B，四邊形OBCD是矩形，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（0，4），已知點E（m，0）是線段DO上的動點，過點E作PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，交BD于點H．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當點P在直線BC上方時，請用含m的代數式表示PG的長度；

（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+4；（2）PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m（﹣2＜m＜0）；（3）在（2）的條件下，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似，此時m的值為﹣1或﹣．

【解析】試題分析：（1）設交點式y=a（x﹣1）（x+3），然后把B點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式；

（2）先解方程﹣x2﹣x+4=4，解得x1=0，x2=﹣2，則﹣2＜m＜0，設P（m，﹣ m2﹣m+4），G（m，4），則可用m表示PG；

（3）易得△DEH∽△DOB，則判定△PGB與△BOD，由于∠PGB=∠DOB，根據相似三角形的判定方法，當 時，△PGB∽△BOD，則△PGB∽△HED，當時，△PGB∽△DOB，則△PGB∽△DEH，然后分別利用相似比列關于m的方程，再解方程求出m，從而得到滿足條件的m的值．

試題解析：（1）設拋物線解析式為y=a（x﹣1）（x+3），

把B（0，4）代入得a（﹣1）3=4，解得a=﹣，

所以拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）（x+3），

即y=﹣x2﹣x+4；

（2）當y=4時，﹣ x2﹣x+4=4，解得x1=0，x2=﹣2，

∴﹣2＜m＜0，

∵E（m，0），PE⊥x軸，

∴P（m，﹣ m2﹣m+4），

而BC∥x軸，

∴G（m，4），

∴PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m（﹣2＜m＜0）；

（3）∵HE∥OB，

∴△DEH∽△DOB，

∵∠PGB=∠DOB，

∴當時，△PGB∽△BOD，則△PGB∽△HED，

即 ，整理得m2+m=0，解得m1=0（舍去），m2=﹣1，

當時，△PGB∽△DOB，則△PGB∽△DEH，

即，整理得16m2+23m=0，解得m1=0（舍去），m2=﹣ ，

綜上所述，在（2）的條件下，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似，此時m的值為﹣1或﹣．