Question

已知：如圖，等邊三角形AOB的頂點A在反比例函數y=（x＞0）的圖象上，點B在x軸上．
（1）求點B的坐標；
（2）求直線AB的函數表示式；
（3）在y軸上是否存在點P，使△OAP是等腰三角形？若存在，直接把符合條件的點P的坐標都寫出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出OB的長，然后根據等邊三角形的特點用OB的長表示出△OAB的面積，根據反比例函數的解析式知，△OAB的面積為，聯立其面積表達式即可求得OB的長，從而確定點B的坐標．
（2）已知等邊三角形的邊長，易求得A點的坐標，然后用待定系數法求解即可．
（3）首先設出P點的坐標，然后分別表示出OP²、OA²、AP²，分三種情況討論：
①OP=OA，②OP=AP，③OA=AP，根據三種情況下所能列出的不同等量關系式，可求得符合題意的點P坐標．
解答：解：（1）根據題意得，△OAB的面積為；（1分）
設OB=a，S_△OAB==，（2分）
∴OB=2，∴B（2，0）．（3分）

（2）易知A（1，），（4分）
把A（1，），B（2，0），代入y=kx+b得，（5分）
解得，k=-，b=2；
∴y=-x+2．（6分）

（3）符合條件的點P有：
（0，2）（0，2）（0，-2）（0，）．（9分）
（1-2個點（1分），3個點（2分），4個3分）
理由：設點P（0，y），已知A（1，），O（0，0）；
則AP²=1+（y-）²，OP²=y²，OA²=4；
①當OP=AP時，OP²=AP²，即：
y²=1+（y-）²，解得y=，
∴P（0，）；
②當AP=OA時，AP²=OA²，即：
1+（y-）²=4，整理得：y²-2y=0，
解得y=0（舍去），y=2，
∴P（0，2）；
③當OP=OA時，OP²=OA²，即：
y²=4，解得y=±2，
∴P（0，2）或（0，-2）；
綜上可知：符合條件的P點有四個，且坐標為：P（0，2）（0，2）（0，-2）（0，）．
點評：此題考查的知識點有：等邊三角形的性質、用待定系數法確定函數解析式的方法以及等腰三角形的構成情況等知識，要注意（3）題要根據等腰三角形不同的腰和底分類討論，以免漏解．