Question

（2013•玄武區一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．現有一點D，使得∠CDB=∠CAB，DB=CB．
（1）請用尺規作圖的方法確定點D的位置（保留作圖痕跡，可簡要說明作法）；
（2）連接CD，與AB交于點E，求∠BEC的度數；
（3）以A為圓心AB長為半徑作⊙A，點O在直線BC上運動，且以O為圓心r為半徑的⊙O與⊙A相切2次以上，請直接寫出r應滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）由于∠CDB=∠CAB，點A與點D都在以BC為弦的同一圓上，則先作出Rt△ABC的外接圓⊙O，然后以B為圓心，BC為半徑畫弧交⊙O于點D，則點D為所求；
（2）由DB=CB得∠DCB=∠CDB，而∠CDB=∠CAB，所以∠DCB=∠CAB，再利用∠CAB+∠CBA=90°得到∠DCB+∠CBA=90°，于是得到∠BEC=90°；
（3）如圖，過C點的直徑為PQ，CP=2，CQ=8，當r=8時，⊙O與⊙A外切2次，內切1次；當0＜r＜2時，⊙O與⊙A外切2次，內切2次；當r=8時，⊙O與⊙A外切2次，內切2次；
當r＞8時，⊙O與⊙A相切4次．

解答：解：（1），作AB的垂直平分線，垂足為點O，以O點為圓心，OA為半徑作⊙O，然后以B為圓心，BC為半徑畫弧交⊙O于點D，如圖，

即點D為所求
（2）∵DB=CB，
∴∠DCB=∠CDB，
又∵∠CDB=∠CAB，
∴∠DCB=∠CAB．
∵∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠DCB+∠CBA=90°．
即∠BEC=90°；
（3）當0＜r＜2時，⊙O與⊙A相切4次；
當r=2時，⊙O與⊙A相切3次；
當r=8時，⊙O與⊙A相切3次；
當r＞8時，⊙O與⊙A相切4次．

點評：本題考查了圓的綜合題：垂徑定理和圓周角定理是解決有關圓的問題常用的定理；記住兩圓的位置關系的判斷方法．