Question

如圖，直線y=與x軸、y軸分別交于A、B兩點．
（1）求OA、OB的長；
（2）已知點C（0，1），在x軸上是否存在點D，使得以D、C、O為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請直接寫出D點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線y=與x軸、y軸分別交于A、B兩點，利用圖象與坐標軸交點求法分別得出即可；
（2）根據相似三角形的判定，以及AO，BO，CO的長度，得出對應邊關系求出即可．
解答：解：（1）∵直線y=與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴當x=0，y=-4，當y=0，x=-3，
∴A點坐標為：（-3，0），B點坐標為：（0，-4）；
∴OA=3，OB=4；

（2）當△D₁OC∽△AOB，
則=，
∵點C（0，1），∴CO=1，
∵OA=3，OB=4；
∴=，
解得：OD₁=，
故D點坐標為：（，0），
當△COD₂∽△AOB，
則，
=，
解得：D₂O=，
故D點坐標為：（，0），
根據當D點在x軸負半軸時，D點坐標為：（-，0），（-，0），也可以使得以D、C、O為頂點的三角形與△AOB相似，
綜上所述：
使得以D、C、O為頂點的三角形與△AOB相似的D點坐標為：（-，0），（-，0），（，0），（，0）．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及一次函數與坐標軸交點坐標求法，根據D、C、O為頂點的三角形與△AOB對應頂點不確定，分別討論得出是解題關鍵．