Question

【題目】(1)在圖1中，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．∠ABC＝∠ADC＝90°，則能得如下兩個結論：① DC = BC; ②AD+AB=AC.請你證明結論②；

(2)在圖2中，把（1）中的條件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改為∠ABC＋∠ADC＝180°，其他條件不變，則(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明;若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析(2) 成立，證明見解析

【解析】（1）證明： ∵∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．

∴∠DAC = ∠BAC =600

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴∠DCA＝∠BCA＝30°，

在Rt△ACD，Rt△ACB中，∠DCA＝30°

∠BCA＝30°

∴AC=2AD， AC = 2AB，

∴2AD=2AB

∴AD=AB

∴AD+AB=AC.

（2）解：（1）中的結論① DC = BC; ②AD+AB=AC都成立，　　　　　　　

理由一：如圖2，在AN上截取AE=AC，連結CE，

∵∠BAC =60°，

∴△CAE為等邊三角形，

∴AC=CE，∠AEC =60°，

∵∠DAC =60°，∴∠DAC =∠AEC，

∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠EBC＝180°，

∴∠ADC =∠EBC， ∴，

∴DC = BC，DA = BE， …

∴AD+AB=AB+BE=AE， ∴AD+AB=AC．

或者理由二：如圖，過C作CE⊥AN,CF⊥AM于E、F

證明△BCE≌△DCF,得到

DC=BC,BE=DF

即AC=AE+AF=AB+AD亦可

得分參照理由一給分

（1）根據角平分線的性質可得∠DAC=∠BAC=60°，又已知∠ABC=∠ADC=90°，所以∠DCA=∠BCA=30°，根據直角三角形的性質可證AC=2AD，AC=2AB，所以AD+AB=AC．

（2）根據已知條件可在AN上截取AE=AC，連接CE，根據AAS可證△ADC≌△EBC，得到DC=BC，DA=BE，所以AD+AB=AB+BE=AE，即AD+AB=AC．