Question

【題目】如圖，已知點A（1，yA），B（0，yB），C（-1，yC），D（x1，yD）（x1≠1）在拋物線上，且AD//BC，AA1軸于A1，DF⊥AAl于F，CE⊥軸于E．

（1）求證：△ADF∽△BCE；

（2）當，，時，求的值；

（3）的值會隨a，b，c的值改變而改變嗎?若會，請求出與a，b，c的關系式；若不會，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）-2；（3）不會，理由見解析.

【解析】

（1）由平行可得∠ADF=∠BCE, 又∵∠AFD=∠BEC=90°，可證△ADF∽△BCE，

（2）將a，b，c的值代入解析式求得y=，再由點B,C求得=3,因為AD//BC，則==3,從而可得直線AD的解析式，最后再求出直線與拋物線的交點即可.

（3）分別將A，B，C，代入，表示出A，B，C的坐標，同（2）表示出=(b-a)x+2a+c, 最后再求出直線與拋物線的交點為定值可知的值不會隨a，b，c的值改變而改變.

解：（1）∵AD//BC，

∠ADF=∠DBC,

又∵DF∥CE,

∴∠DBC=∠BCE,

∴∠ADF=∠BCE,

又∵∠AFD=∠BEC=90°，

∴△ADF∽△BCE，

（2）當，，時，

∴y=，

∴A（1，15）；B（0，10）；C（-1，7），

設直線BC的解析式為：y=kx+b,將B（0，10），C（-1，7）代入得，

，解得，，

∵AD//BC，

∴可設直線AD的解析式為：=3x+m,將A（1，15）代入得，

15=3+m, 解得，m=12,

∴=3x+12,

∴ ，

解得， ，，

∴D（-2，6），

∴ ，

（3）不會，理由如下：

將A（1，yA），B（0，yB），C（-1，yC），代入，

得yA=a+b+c, yB=c, yC= a-b+c,

∴A（1，a+b+c,），B（0，c），C（-1，a-b+c），

∴==b-a,

∵AD//BC，

∴可設直線AD的解析式為：=(b-a)x +n,將A（1，a+b+c）代入得，

a+b+c=b-a +n,解得，n=2a+c,

∴=(b-a)x+2a+c,

∴,

化簡得， ，

∴，

解得，=1（舍），=-2，

∴的值不會隨a，b，c的值改變而改變.