Question

（2011•和平區模擬）拋物線l₁：y=-x²+2x與x軸的交點為O、A，頂點為D，拋物線l₂與拋物線l₁關于y軸對稱，與x軸的交點為O、B，頂點為C，線段CD交y軸于點E．
（1）求拋物線l₂的頂點C的坐標及拋物線l₂的解析式；
（2）設P是拋物線l₁上與D、O兩點不重合的任意一點，Q點是P點關于y軸的對稱點，試判斷以P、Q、C、D為頂點的四邊形是什么特殊的四邊形（直接寫出結論）？
（3）在拋物線l₁上是否存在點M，使得S_△ABM=S_{四邊形AOED}？如果存在，求出M的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于l₁、l₂關于y軸對稱，那它們的頂點坐標關于y軸對稱，而開口大小、開口方向、與y軸的交點都相同，據此可求出l₂的解析式；
（2）結合圖形即可得出答案．
（3）先求出四邊形AOED的面積，然后設出點M的坐標，根據S_△ABM=S_{四邊形AOED}，可得出關于y的方程，將y的值代入l₁的解析式即可得出點M的坐標．

解答：解：（1）∵l₁：y=-x²+2x，拋物線l₂與拋物線l₁關于y軸對稱，
∴l₂：y=-x²-2x=-（x+1）²+1，
∴頂點C的坐標是（-1，1）；
（2）

根據所畫圖形可得四邊形PQCD是矩形或等腰梯形．
（3）存在．
設滿足條件的M點坐標為（x，y），
連接MA、MB、AD，以題意得A（2，0），B（-2，0），E（0，1），
S_梯形AOED=

1

2

（ED+OA）×OE=

(1+2)×1

2

=

3

2

，
①當y＞0時，S_△ABM=

1

2

×4×y=

3

2

，
解得：y=

3

4

，
將y=

3

4

代入l₂的解析式，可得-x²+2x=

3

4

，
解得：x₁=

3

2

，x₂=

1

2

，
故M₁（

3

2

，

3

4

），M₂（

1

2

，

3

4

）；
②當y＜0時，S_△ABM=

1

2

×4×（-y）=

3

2

，
解得：y=-

3

4

，
將y=

3

4

代入l₂的解析式，可得-x²+2x=-

3

4

，
解得：x₁=

2+ 7

2

，x₂=

2- 7

2

，
故M₃（

2+ 7

2

，

3

4

），M₄（

2- 7

2

，

3

4

）；
綜上可得點M的坐標為M₁（

3

2

，

3

4

），M₂（

1

2

，

3

4

），M₃（

2+ 7

2

，-

3

4

），M₄（

2- 7

2

，-

3

4

）．

點評：本題屬于二次函數的綜合題，涉及了拋物線的對稱變換、三角形的面積及梯形的知識，解答本題的關鍵是數形結合，根據面積關系得出方程求解，有一定難度．