Question

二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0），下列說法：
①若b²-4ac=0，則拋物線的頂點一定在x軸上；
②若b=a+c，則拋物線必經過點（-1，0）；
③若a＜0，且一元二次方程ax²+bx+c=0有兩根x₁，x₂（x₁＜x₂），則ax²+bx+c＜0的解集為x₁＜x＜x₂；
④若，則方程ax²+bx+c=0有一根為-3．
其中正確的是________（把正確說法的序號都填上）．

Answer 1

①②④
分析：令y=0，利用根的判別式判定頂點在x軸上，令x=-1求出a、b、c的關系式，判斷②正確；a＜0時，拋物線開口向下，根據二次函數的增減性寫出不等式的解集，判斷③錯誤；把已知等式整理得到a、b、c的關系式，然后判斷出x=-3，從而得到④正確．
解答：令y=0，則ax²+bx+c=0，
∵b²-4ac=0，
∴拋物線與x軸只有一個交點，即頂點一定在x軸上，故①正確；
x=-1時，a-b+c=0，
∴b=a+c，
∴b=a+c，則拋物線必經過點（-1，0）正確，故②正確；
a＜0時，二次函數y=ax²+bx+c圖象開口向下，
ax²+bx+c＜0的解集為x＜x₁或x＞x₂，故③錯誤；
∵b=3a+，
∴9a-3b+c=0，
∴a（-3）²+b（-3）+c=0，
∴方程ax²+bx+c=0有一根為-3，故④正確．
綜上所述，正確的是①②④．
故答案為：①②④．
點評：本題考查了二次函數的性質，主要利用了二次函數與x軸的交點問題，利用二次函數圖象求解一元二次不等式，利用特殊值法確定函數值，綜合題，但難度不大．