Question

如圖所示，已知矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm，對角線AC的垂直平分線交AD于E，交BC于F．
（1）試判斷四邊形AFCE是怎樣的四邊形？
（2）求出四邊形AFCE的周長．

Answer 1

分析：（1）四邊形AFCE是菱形．要證四邊形AFCE是菱形，只需通過定義證明四邊相等即可．此題實際是對判定菱形的方法“對角形垂直平分的四邊形為菱形”的證明；
（2）根據線段垂直平分線性質得出AF=CF，設AF=x，推出AF=CF=x，BF=8-x，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程6²+（8-x）²=x²，由此可以得到該菱形的周長為4x．

解答：解：（1）四邊形AFCE是菱形．理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，
則在△AOE與△COF中，

∠OAE=∠OCF AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF
∴四邊形AFEC是平行四邊形，
又∵EF⊥AC，
∴四邊形AFEC是菱形；

（2）解：設AF=x，
∵EF是AC的垂直平分線，
∴AF=CF=x，BF=8-x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，
6²+（8-x）²=x²，
x=

25

4

，
即AF=

25

4

cm．
則菱形AFCE的周長為4x=25cm．

點評：本題考查了勾股定理，矩形性質，平行四邊形的判定，菱形的判定，全等三角形的性質和判定，平行線的性質等知識點的綜合運用，用了方程思想．