Question

如圖，△ABC的高線AD，BE相交于M，延長AD，交△ABC的外接圓于G，求證：DM=DG．

Answer 1

分析：首先連接BG，由△ABC的高線AD，BE相交于M，根據同角的余角相等，即可證得∠DAC=∠EBC，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可證得∠GAC=∠GBC，則可得∠EBC=∠GBC，繼而根據ASA，即可證得△BDM≌△BDG，則可得證得DM=DG．

解答：證明：連接BG，
∵AD，BE分別是△ABC的高線，
∵∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠DAC=∠EBC，
又∵∠GAC=∠GBC，
∴∠EBC=∠GBC，…（3分）
∵∠BDM=∠BDG=90°，BD=BD，
∴△BDM≌△BDG（ASA），
∴DM=DG．…（6分）

點評：此題考查了圓周角定理、直角三角形的性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度不大，解題的關鍵是準確作出輔助線，注意同角的余角相等與在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等定理的應用．