Question

已知：如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分別是AB、CD的中點．
（1）在邊AD上取一點M，使點A關于BM的對稱點C恰好落在EF上．設BM與EF相交于點N，求證：四邊形ANGM是菱形；
（2）設P是AD上一點，∠PFB=3∠FBC，求線段AP的長．

Answer 1

分析：（1）設AG交MN于O，由題意易得AO=GO，AG⊥MN，要證四邊形ANGM是菱形，還需證明OM=ON，又可證明AD∥EF∥BC．∴MO：ON=AO：OG=1：1，∴MO=NO；
（2）連接AF，由題意可證得∠PFA=∠FBC=∠PAF，∴PA=PF，∴PA=

DF2+PD2

=

1+(3-PA)2

，求得PA=

5

3

．

解答：（1）證明：設AG交MN于O，則
∵A、G關于BM對稱，
∴AO=GO，AG⊥MN．
∵E、F分別是矩形ABCD中AB、CD的中點，
∴AE=BE，AE∥DF且AE=DF，AD∥EF∥BC．
∴MO：ON=AO：OG=1：1．
∴MO=NO．
∴AG與MN互相平分且互相垂直．
∴四邊形ANGM是菱形．

（2）解：連接AF，
∵AD∥EF∥BC，
∴∠PAF=∠AFE，∠EFB=∠FBC．
又∵EF⊥AB，AE=BE，
∴AF=BF，
∴∠AFE=∠EFB．
∴∠PAF=∠AFE=∠EFB=∠FBC．
∴∠PFB=∠PFA+∠AFE+∠EFB=∠PFA+2∠FBC=3∠FBC．
∴∠PFA=∠FBC=∠PAF．
∴PA=PF．
∴在Rt△PFD中，根據勾股定理得：PA=PF=

DF2+PD2

=

1+(3-PA)2

，
解得：PA=

5

3

．

點評：本題主要考查菱形和平行四邊形的識別及推理論證能力．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．