Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，C點在x軸上，A點在y軸上，D點坐標是（0，0），B點坐標是（3，4），矩形ABCD沿直線EF折疊，點A落在BC邊上的G處，E、F分別在AD、AB上，且F點的坐標是（2，4）．
（1）求G點坐標；
（2）求直線EF解析式；
（3）點N在x軸上，直線EF上是否存在點M，使以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據折疊性質可知FG=AF=2，而FG=AB-AF=1，則在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的長，從而得到CG的長，從而得到G點坐標；
（2）由題意，可知△AEF為含30度角的直角三角形，從而可求出E點坐標；又F點坐標已知，所以可利用待定系數法求出直線EF的解析式；
（3）本問關鍵是確定平行四邊形的位置與形狀．因為M、N均為動點，只有FG已經確定，所以可從此入手，按照FG為一邊、FG為對角線的思路，順序探究可能的平行四邊形的形狀．確定平行四邊形的位置與形狀之后，利用全等三角形求得M點的縱坐標，再利用直線解析式求出M點的橫坐標，從而求得M點的坐標．
解答：解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1
∵四邊形ABCD為矩形
∴∠B=90°
BG===
∴G點的坐標為（3，4-）；
 
（2）設直線EF的解析式是y=kx+b
在Rt△BFG中，cos∠BFG==
∴∠BFG=60°
∴∠AFE=∠EFG=60°
∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=2
∴E點的坐標為（0，4-2）
又F點的坐標是（2，4）
∴
解得k=，b=4-2；
∴直線EF的解析式為y=x+4-2；
注：
求E點坐標方法二：過點E作EP⊥BC于點P，利用△BFG∽△PGE得到OE=4-2，所以E（0，4-2）；
求E點坐標方法三：過點E作EP⊥BC于點P，在Rt△GEP中，由勾股定理得EG²=GP²+EP²，得到OE=4-2，所以E（0，4-2）；
求E點坐標方法四：連接AG，證△AEG是等邊三角形，得到OE=4-2，所以E（0，4-2）．

（3）若以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形，則可能存在以下情形：
①FG為平行四邊形的一邊，且N點在x軸正半軸上，如圖1所示．
過M₁點作M₁H⊥x軸于點H，
∵M1N1∥FG，
∴∠HN1M1=∠HQF，
又∵AB∥OQ，
∴∠HQF=∠BFG，
∴∠HM₁N₁=∠BFG
又∵∠M₁HN₁=∠B=90°，M₁N₁=FG，
∴△M₁HN₁≌△GBF，
∴M₁H=GB=，即y_M1=．
由直線EF解析式y=x+4-2，求出x_M1=3-．
∴M₁（3-，）；
②FG為平行四邊形的一邊，且N點在x軸負半軸上，如圖2所示．
仿照與①相同的辦法，可求得M₂（1-，-）；
③FG為平行四邊形的對角線，如圖3所示．
過M₃作FB延長線的垂線，垂足為H．易證△M₃FH≌△GN₃C，則有M₃H=CG=4-，所以M₃的縱坐標為8-；
代入直線EF解析式，得到M₃的橫坐標為1+．
∴M₃（1+，8-）．
綜上所述，存在點M，使以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形．
點M的坐標為：M₁（3-，），M₂（1-，-），M₃（1+，8-）．
點評：本題考查了直角坐標系中一次函數與平面圖形的性質，涉及到的考點包括待定系數法求一次函數（直線）解析式、矩形、平行四邊形、直角三角形、全等三角形的判定與性質、勾股定理等，對解題能力要求較高．難點在于第（3）問，這是一個存在性問題，注意平行四邊形有三種可能的情形，需要一一分析并求解，避免遺漏．