Question

（2006•烏蘭察布）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點D在BC上運動（不能到達B，C點），過D作∠ADE=45°，DE交AC于E．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）設BD=x，AE=y，求y關于x的函數表達式；
（3）當△ADE是等腰三角形時，求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出三角形的兩個角相等便可證明兩三角形相似；
（2）利用△ABD∽△DCE，BD=x，AE=y代入比例式，便可求出y關于x的函數表達式；
（3）△ADE是等腰三角形，分三種情況討論：
①若AE=DE，知要求DE⊥AC，∵AD=，∴AE=DE=1；
②若AD=DE，由（1）條件知△ABD∽△DCE，BD=x=，BD=CE，AE=2-CE=；
③若AD=AE，則∠ADE=∠AED=45°，從而∠DAE=90°，即D點與B點重合，這與已知條件“D點不能到B，C點矛盾”，因此AD≠AE．
解答：（1）證明：由圖知和已知條件：
∵∠ADB=∠DAC+∠C=∠DAC+45°，
∴∠DEC=∠DAC+∠ADE=∠DAC+45°，
∴∠ADB=∠DEC；
又∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE．

（2）解：由△ABD∽△DCE，
∴，
∵AB=2，BD=x，DC=，
CE=2-y代入得4-2y=?．

（3）解：①若AE=DE，則DE⊥AC，
∵AD=，
∴AE=DE=1，
②若AD=DE，由（1）條件知△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE（有一邊對應相等的兩相似三角形全等），
∴AB=DC，
2=，
x=，
BD=CE，
AE=2-CE=，
③若AD=AE，
則∠ADE=∠AED=45°，∠DAE=90°，點D在B處沒走，
則AD≠AE．
點評：此題考查三角形相似條件和二次函數性質，是一道綜合題．