Question

20、若a是自然數(shù)，則a⁴-3a²+9是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？給出你的證明．

Answer 1

分析：先把原式進(jìn)行因式分解，再根據(jù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的定義分a=0，a=1，a=2及a＞2四種情況進(jìn)行討論．

解答：解：原式=（a⁴+6a²+9）-9a²=（a²+3a+3）（a²-3a+3），
當(dāng)a=0時(shí)，原式=9是合數(shù)；
當(dāng)a=1時(shí)，原式=7是質(zhì)數(shù)；
當(dāng)a=2時(shí)，原式=13也是質(zhì)數(shù)；
當(dāng)a＞2時(shí)，a²+3a+3＞1，a²-3a+3=（a-2）（a-1）+1＞1，
這說明，此時(shí)a⁴-3a²+9可以分解為兩個(gè)大于1的自然數(shù)的積，即它是合數(shù)．
故當(dāng)a=0或a＞2時(shí)原式的值是合數(shù)；
當(dāng)a=1或a=2時(shí)原式的值是質(zhì)數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念及因式分解，熟知質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念是解答此題的關(guān)鍵．