Question

已知矩形ABCD中，AD=3，AB=1．
（1）若EF把矩形分成兩個小的矩形，如圖所示，其中矩形ABEF與矩形ABCD相似．求AF：AD的值；
（2）若在矩形ABCD內不重疊地放兩個長是寬的3倍的小長方形，且每個小長方形的每條邊與矩形ABCD的邊平行，求這兩個小長方形周長和的最大值．

Answer 1

解：（1）設AF=x，
∵矩形ABEF與矩形ABCD相似，AD=3，AB=1，
∴=，即=，解得x=，
∴AF：AD=：3=1：9；

（2）解：兩個小矩形的放置情況有如下幾種：
①兩個小矩形都“豎放”，如圖（一），在這種放法下，周長和最大的兩個小矩形，邊長分別為1和 ，
故此時周長和的最大值為 ．

②兩個小矩形都“橫放”，如圖（二）及圖（三）所示，這時兩個小矩形的周長和的最大值是
2（a+3a）+2[1-a+3（1-a）]=8．

③兩個小矩形一個“橫放”，一個“豎放”，如圖（四），這時兩個小矩形的周長和為
2（a+3a）+2（3-a+）=8+，

因為0＜3a≤1，即0＜a≤，故當a=時，此時兩個小矩形的周長和最大為 ，
綜上三種情形，知所求的最大值為 ．
故答案為：．
分析：（1）設AF=x，再根據矩形ABEF與矩形ABCD相似即可求出x的值，進而得出AF：AD的值；
（2）由于小矩形放置的位置不確定，故應分三種情況討論：
①兩個小矩形都“豎放”；②兩個小矩形都“橫放”；③兩個小矩形一個“橫放”，一個“豎放”．
點評：本題考查的是相似多邊形的性質，即相似多邊形的對應邊成比例，解答此題時要注意分類討論．