Question

如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），拋物線y＝x²＋bx＋c經(jīng)過矩形ABCO的頂點(diǎn)B、C，D為BC的中點(diǎn)，直線AD與y軸交于E點(diǎn)，與拋物線y＝x²＋bx＋c交于第四象限的F點(diǎn)．

（1）求該拋物線解析式與F點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；
同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AE以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)．過
點(diǎn)P作PH⊥OA，垂足為H，連接MP，MH．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①問EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②若△PMH是等腰三角形，求出此時(shí)t的值．

Answer 1

（1）y＝x²＋2x＋3，F(6，-3) （2） ①有，t=3；②，，1，

試題分析：（1）∵矩形ABCO，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）
∵拋物線y＝x²＋bx＋c經(jīng)過矩形ABCO的頂點(diǎn)B、C

∴ ∴ ∴y＝x²＋2x＋3
設(shè)直線AD的解析式為
∵A(4，0)、D(2，3) ∴ ∴
∴ 
∵F點(diǎn)在第四象限，∴F(6，-3)
（2）∵E(0，6)  ∴CE=CO
連接CF交x軸于H′，過H′作x軸的垂線交BC于P′，當(dāng)P
運(yùn)動(dòng)到P′，當(dāng)H運(yùn)動(dòng)到H′時(shí)， EP+PH+HF的值最小.
設(shè)直線CF的解析式為
∵C(0，3)、F(6，-3) ∴ ∴ ∴
當(dāng)y=0時(shí)，x=3，∴H′(3，0) ∴CP=3  ∴t=3
如圖1，過M作MN⊥OA交OA于N
∵△AMN∽△AEO，∴
∴ ∴AN=t，MN=
I．如圖1，當(dāng)PM=HM時(shí)，M在PH的垂直平分線上，
∴MN=PH   ∴MN=  ∴t=1
II．如圖2，當(dāng)PH=HM時(shí)，MH=3，MN=，
HN=OA-AN-OH=4-2t 在Rt△HMN中，
，，
 （舍去），
III．如圖3．如圖4，當(dāng)PH=PM時(shí)，PM=3， MT=，PT=BC-CP-BT=在Rt△PMT中，，
，25t²-100t+64=0 ，
∴，，1，

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)、等腰三角形，要求考生會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)