Question

（2005•揚州）一位祖籍揚州的臺商，應市政府的邀請，回鄉考察投資環境，誰知家鄉的變化竟讓他迷路了．他驅車在一條東西走向的公路上由西向東緩慢地前行著．車載GPS（全球衛星定位系統）顯示（如圖），市政府所在地（點C）在其（點A）南偏東45°的方向上，相距4km．他繼續向東前進到達點B的位置，發現市政府所在地在其南偏西60°的方向上．
（1）試求該臺商由西向東行進的路程AB是多少千米（結果保留根號）；
（2）在臺商行駛的公路南側有兩條與之平行，且距離這條公路分別約是0.5km的向陽大道和3km的興寶大道，請估算市政府所在地靠近哪條大道？

Answer 1

【答案】分析：（1）過點C作CD⊥AB于D，利用已知條件分別求得AD、BD的長，那么AB的長就得到了．
（2）讓0.5與3分別與CD作差，哪個絕對值小就越靠近其對應的大道．
解答：解：（1）如圖，由題意，可知AC=4，∠DAC=45°，∠ABC=30°，
過點C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，∵AC=4，∠DAC=45°，
∴AD=AC•cos∠DAC=4×=，CD=AD=，
在Rt△BCD中，∵CD=，∠ABC=30°
∴BD=CD•cot∠ABC=×=2，
∴AB=AD+BD=+2
∴該臺商由西向東前進了（+2）千米；

（2）∵-0.5＞3-
∴市政府所在地靠近興寶大道．
點評：本題以投資商迷路為背景，考查學生對應用問題的數學化、數學建模思想的掌握情況．解題的關鍵是將實際問題轉化成解直角三角形問題，同時本題還考查了學生估算的技能．