Question

23、如圖，在?ABCD中，EF過AC的中點O，與邊AD、BC分別相交于點E、F．
（1）試說明四邊形AECF是平行四邊形；
（2）當EF過AC的中點，且與AC垂直時，試說明四邊形AECF是菱形．

Answer 1

分析：（1）要說明四邊形AECF是平行四邊形，我們可以通過說明AE=CF、AE∥CF或AO=CO、EO=FO．
證△AOE≌△COF可得；
（2）運用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形來加以說明．

解答：解：（1）∵?ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠FCA，∠AEF=∠CFE．
又AO=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF．
∴四邊形AECF是平行四邊形；（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）

（2）∵四邊形AECF是平行四邊形，AC⊥EF，
∴四邊形AECF是菱形．（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）

點評：菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分．具體選擇哪種方法需要根據已知條件來確定．