Question

【題目】如圖，BD是△ABC的角平分線，點E、F分別在BC、AB上，且DE∥AB，∠DEF＝∠A，EF與BD相交于點M，以下結論：①△BDE是等腰三角形；②四邊形AFED是菱形；③BE＝AF；④若AF∶BF＝3∶4，則△DEM的面積：△BAD的面積＝9∶49，以上結論正確的是(　　)

A. ①②③④

B. ①③④

C. ①③

D. ③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據BD是△ABC的角平分線與DE∥AB易證∠DBE＝∠BDE，故△BDE是等腰三角形；可證EF∥AD，四邊形ADEF為平行四邊形而不是菱形，即可得BE＝AF，再連接DF，得△DEM∽△BFM，再求出相似比，利用面積比等于相似比的平方即求得△DEM的面積與△BAD的面積之比.

∵BD是△ABC的角平分線，

∴∠DBE＝∠ABD，

∵DE∥AB，

∴∠ABD＝∠BDE，

∴∠DBE＝∠BDE，

∴BE＝DE，

∴△BDE是等腰三角形，故①正確；

∵DE∥AB，

∴∠BAC＋∠ADE＝180°，

∵∠DEF＝∠BAC，

∴∠DEF＋∠ADE＝180°，

∴EF∥AD，

∴四邊形ADEF為平行四邊形，故②錯誤；

∴AF＝DE，

∴BE＝AF；故③正確；

如圖，連接DF，

∵DE∥AB，

∴△DEM∽△BFM，

∴＝，

∵DE＝AF，AF∶BF＝3∶4，

∴＝＝，＝＝，

∴＝，

∴S四邊形AFMD＝S△DEM，S△BFM＝S△DEM，

∴△DEM的面積∶△BAD的面積＝9∶49，故④正確，

故選B.