Question

如圖，在下面的直角坐標系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，4）三點，其中a，b滿足關系式a=

b2-9 + 9-b2

b+3

+2．
（1）求a，b的值；
（2）如果在第二象限內有一點P（m，

1

3

），請用含m的式子表示四邊形ABOP的面積；
（3）在（2）的條件下，是否存在點P，使四邊形ABOP的面積與△ABC的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據二次根式的性質得出b²-9=0，再利用b+3≠0，求出b的值，進而得出a的值；
（2）因為P在第二象限，將四邊形ABOP的面積表示成三角形APO和三角形AOB的面積和，即可求解，
（3）將A，B，C坐標在直角坐標系中表示出來，求出三角形ABC的面積，當四邊形ABOP的面積與△ABC的面積相等時，即3-m=6，得m=-3，即可進行求解．

解答：解：（1）∵a，b滿足關系式a=

b2-9 + 9-b2

b+3

+2，
∴b²-9=0，b+3≠0，
∴b=3，a=2；

（2）四邊形ABOP的面積可以看作是△APO和△AOB的面積和，
∵P在第二象限，∴m＜0，S_APOB=S_△AOB+S_APO=

1

2

×2×3+

1

2

×（-m）×2=3-m．
故四邊形ABOP的面積為3-m；

（3）由題意可得出：點A（0，2），B（3，0），C（3，4），
過A點作BC邊上的高，交BC于點H，
則三角形ABC的面積為：S=

1

2

BC•AH=

1

2

×4×3=6；
當四邊形ABOP的面積與△ABC的面積相等時，
即3-m=6，得m=-3，
此時P點坐標為：（-3，

1

3

），
存在P點，使四邊形ABOP的面積與△ABC的面積相等．

點評：本題考查了坐標與圖形性質及三角形的面積公式，難度較大，關鍵根據題意畫出圖形，認真分析解答．