Question

環(huán)行跑道的一周插了若干紅、黃兩種顏色的彩旗，已知一共變色了46次（一個紅旗與一個黃旗相鄰或一個黃旗與一個紅旗相鄰，稱為一次變色），現可將相鄰的旗子對調，如果若干次對調后，變色次數減少為26次．試說明：在對調過程中，必有一個時刻，彩旗的變色次數恰好為28次．

Answer 1

首先說明，將相鄰的旗子對調一次，變色次數或不變，或增加2次，或減少2次．
顯然，如果對調的兩旗同色，則不改變變色數，以下為了方便，用⊙表示紅色旗，用△表示黃色旗，可設對調前兩旗為⊙△，
因對調一次只可能影響這兩旗相鄰旗子的變色數，因此（考慮對稱性），只需考慮如下幾種對調前的情形：
⊙⊙△△，⊙⊙△⊙，△⊙△⊙，△⊙△△（變色數依次為1，2，3，2），
將中間兩旗對調后變?yōu)椤选鳌选鳎�⊙△⊙⊙，△△⊙⊙，△△⊙△（變色數依次�?，2，1，2）．
由此可見，變色數或不變，或增加2次，或減少2次．
由原來的變色數46，經過若干次增、減2，現在成為26，故必須經過46與26之間的所有偶數．
所以在對調過程中，必有一個時刻，彩旗的變色次數恰好為28次．