Question

已知拋物線圖象經過點A(3，0)，頂點坐標(0，3)．

(1)寫出拋物線的解析式．

(2)當y≤－1時，x的取值范圍．

(3)在頂點與x軸的兩交點的圖象中，是否存在著一個以原點為圓心，半徑為3的半圓在此圖象內，請結合圖象給于說明．(草圖)

Answer 1

答案：
解析：

(1)設所求的拋物線解析式為y＝a(x－h)2＋k，由A(3，0)，頂點坐標(0，3)得： 　　a(3－0)2＋3＝0，∴a＝－，∴y＝－x2＋3． 　　(2)當y≤－1時，即－x2＋3≤－1，x2－12≥0，解得：x≤－2或x≥2．∴當x≤－2或x≥2時，y≤－1． 　　(3)由y＝－x2＋3．得拋物線與x軸的兩交點坐標分別為(－3，0)，(3，0).其拋物線圖象大致如圖，設第一象限拋物線上一點P1(x1，y1)與圓上點P(x，y)重合，令x1＝x，(0＜x1＜3)，由y＝－x2＋3得x12＝9－3y1． 　　由圓得x2＝9－y2．∴9－3y1＝9－y2，∴y2＝3y1，y＝，∵0＜y1＜3，∴y＞y1．即OP1＜OP．∴除拋物線與y軸正半軸和x軸兩交點在圓上外，其余部分都不存在著一個圓心在原點半徑為3的半圓在此圖象內．