Question

在△ABC中，∠ACB=45°．點D（與點B、C不重合）為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC．如圖①，且點D在線段BC上運動．試判斷線段CF與BD之間的位置關系，并證明你的結論．
（2）如果AB≠AC，如圖②，且點D在線段BC上運動．（1）中結論是否成立，為什么？
（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P，設AC=，BC=3，CD=x，求線段CP的長．（用含x的式子表示）

Answer 1

解：（1）CF與BD位置關系是垂直；
證明如下：
∵AB=AC，∠ACB=45°，
∴∠ABC=45°．
由正方形ADEF得AD=AF，
∵∠DAF=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF=∠ABD．
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．
即CF⊥BD．

（2）AB≠AC時，CF⊥BD的結論成立．
理由是：
過點A作GA⊥AC交BC于點G，
∵∠ACB=45°，
∴∠AGD=45°，
∴AC=AG，
同理可證：△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．

（3）過點A作AQ⊥BC交CB的延長線于點Q，
①點D在線段BC上運動時，
∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．
∴DQ=4-x，△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
②點D在線段BC延長線上運動時，
∵∠BCA=45°，
∴AQ=CQ=4，
∴DQ=4+x．
過A作AQ⊥BC，
∴∠Q=∠FAC=90°，∠ADQ=∠AFC，
則△AQD∽△ACF．
∴CF⊥BD，
∴△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
分析：（1）由∠ACB=45°，AB=AC，得∠ABD=∠ACB=45°；∴∠BAC=90°，由正方形ADEF，可得∠DAF=90°，AD=AF，∠DAF=∠DAC+∠CAF；∠BAC=∠BAD+∠DAC；∴∠CAF=∠BAD．可證△DAB≌△FAC（SAS），得∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
（2）過點A作AG⊥AC交BC于點G，可得出AC=AG，易證：△GAD≌△CAF，所以∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P，設AC=，BC=3，CD=x，求線段CP的長．考慮點D的位置，分兩種情況去解答．①點D在線段BC上運動，已知∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．即DQ=4-x，易證△AQD∽△DCP，∴，∴，問題可求．②點D在線段BC延長線上運動時，∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4，∴DQ=4+x．過A作AQ⊥BC交CB延長線于點Q，則△AGD∽△ACF，得CF⊥BD，由△AQD∽△DCP，得，∴，問題解決．
點評：此題綜合性強，須運用所學全等、相似、正方形等知識點，屬能力拔高性的類型．