Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點P的坐標為（1，），交x軸于A、B兩點，交y軸于點C（0，-）．
（1）求拋物線的表達式．
（2）把△ABC繞AB的中點E旋轉180°，得到四邊形ADBC．判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由．
（3）試問在線段AC上是否存在一點F，使得△FBD的周長最小？若存在，請寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的頂點坐標為（1，），所以-=1，=-，又因為交y軸于點C（0，-），所以c=-，聯立以上等式建立方程組求出啊、，b的值即可求拋物線的表達式；
（2）四邊形ADBC的形狀為矩形，設y=0，即（1）中拋物線的解析式中y=x²-x-=0，求出A、B的坐標，得到E（1，0），即可推出D的坐標，根據矩形的判定即可推出答案；
（3）存在，延長BC至N，使CN=CB．假設存在一點F，使△FBD的周長最小，即FD+FB+DB最小，因為DB固定長，所以只要FD+FB最小即可，再由已知條件和給出的數據求出點F的坐標即可．
解答：解：（1）由題意知
，
解得：a=，b=-，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-；    
              
（2）設點A（x₁，0），B（x₂，0），則y=x²-x-=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴|OA|=1，|OB|=3．又∵tan∠OCB==
∴∠OCB=60°，同理可求∠OCA=30°．
∴∠ACB=90°，
由旋轉性質可知AC=BD，BC=AD，
∴四邊形ADBC是平行四邊形            
又∵∠ACB=90°．
∴四邊形ADBC是矩形；

（3）答：存在，
延長BC至N，使CN=CB．
假設存在一點F，使△FBD的周長最小．
即FD+FB+DB最小．
∵DB固定長．∴只要FD+FB最小．
又∵CA⊥BN
∴FD+FB=FD+FN．∴當N、F、D在一條直線上時，FD+FB最小．
又∵C為BN的中點，
∴FC=AC（即F為AC的中點）．
又∵A（-1，0），C（0，-）
∴點F的坐標為F（-，-）
答：存在這樣的點F（-，-），使得△FBD的周長最小．
點評：本題主要考查對用待定系數法求二次函數的解析式，解一元二次方程，平行四邊形的性質，中心對稱圖形等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．