Question

如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米．現以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系．
（1）直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；
（2）求這條拋物線的解析式；
（3）若要搭建一個矩形“支撐架”AD-DC-CB，使C、D點在拋物線上，A、B點在地面OM上，則這個“支撐架”總長的最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據所建坐標系易求M、P的坐標；
（2）可設解析式為頂點式，把O點（或M點）坐標代入求待定系數求出解析式；
（3）總長由三部分組成，根據它們之間的關系可設A點坐標為（m，0），用含m的式子表示三段的長，再求其和的表達式，運用函數性質求解．
解答：解：（1）M（12，0），P（6，6）．（2分）

（2）設拋物線解析式為：
y=a（x-6）²+6 （3分）
∵拋物線y=a（x-6）²+6經過點（0，0）
∴0=a（0-6）²+6，即a=-（4分）
∴拋物線解析式為：y=-（x-6）²+6，即y=-x²+2x．（5分）

（3）設A（m，0），則B（12-m，0），C（12-m，-m²+2m）
D（m，-m²+2m）．（6分）
∴“支撐架”總長AD+DC+CB=（-m²+2m）+（12-2m）+（-m²+2m）
=-m²+2m+12
=-（m-3）²+15．（8分）
∵此二次函數的圖象開口向下．
∴當m=3米時，AD+DC+CB有最大值為15米．（9分）
點評：本題難度在第（3）問，要分別求出三部分的表達式再求其和．關鍵在根據圖形特點選取一個合適的參數表示它們，得出關系式后運用函數性質來解．