Question

“4.14”青海玉樹地震后，南京市立即組織醫護工作人員趕赴玉樹災區參加傷員搶救工作．派30名醫護人員，攜帶20件行李（藥品、器械），租用甲、乙兩種型號的汽車共8輛，日夜兼程趕赴災區．經了解，甲種汽車每輛最多能載4人和3件行李，乙種汽車每輛最多能載2人和8件行李．
（1）設租用甲種汽車x輛，請你設計所有可能的租車方案；
（2）如果甲、乙兩種汽車的租車費用每輛分別為8000元、6000元，請你選擇最省錢的租車方案．

Answer 1

解：（1）因為租用甲種汽車為x輛，則租用乙種汽車（8-x）輛，由題意得
4x+2（8-x）≥30，3x+8（8-x）≥20
解之得7≤x≤8.8．
即共有二種租車方案：
第一種是租用甲種汽車7輛，乙種汽車1輛；
第二種是租用甲種汽車8輛，乙種汽車0輛．

（2）租車的費用為y，則y=8000x+6000（8-x）=2000x+48000（4≤x≤6），
y隨x的增大而增大，當x取最小值7時，y最小；
租車方案是租用甲種汽車7輛，乙種汽車1輛時，費用最省．
分析：（1）由題意可知：設租用甲種貨車x輛，則乙種貨車為8-x輛；甲乙兩車共載人為4x+2（8-x），甲乙兩車載行李為3x+8（8-x），則甲乙兩車共載人≥30人，即4x+2（8-x）≥30；甲乙兩車載行李數≥20件，即3x+8（8-x）≥20，根據兩個不等式可以解得x的取值范圍，即可確定有幾種方案；
（2）由（1）可知本次運輸的總費用=甲車的輛數×租甲車費+乙車的輛數×租乙車費，即8000x+6000（8-x）=2000x+48000，觀察上面的等式可以看出，總費用隨著x的增大而增大，所以，當x取最小值時，總費用最少．
點評：本題是以“4.14”青海玉樹地震，抗震救災為背景設計的一道應用題，以函數、不等式組等知識為載體，要求學生通過閱讀理解，篩選、提取處理試題所提供的信息，從而建立數學模型．試題貼近生活實際，問題的設計層次分明，接近考生知識水平，同時嚴格控制運算量，使得考生有一定的思維空間．