Question

【題目】已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=2，若以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內，將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處．

（1）求經過點O，C，A三點的拋物線的解析式．

（2）若點M是拋物線上一點，且位于線段OC的上方，連接MO、MC，問：點M位于何處時三角形MOC的面積最大？并求出三角形MOC的最大面積．

（3）拋物線上是否存在一點P，使∠OAP=∠BOC？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x；（2）,；（3）存在，P(，)或(﹣，﹣)

【解析】

（1）根據折疊的性質可得OC=OA，∠BOC=∠BAO=30°，過點C作CD⊥OA于D，求出OD、CD，然后寫出點C的坐標，再利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）求出直線OC的解析式，根據點M到OC的最大距離時，面積最大；平行于OC的直線與拋物線只有一個交點，利用根的判別式求出m的值，利用銳角三角函數的定義求解即可；
（3）分兩種情況求出直線AP與y軸的交點坐標，然后求出直線AP的解析式，與拋物線解析式聯立求解即可得到點P的坐標．

解：（1）∵Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處，

∴OC=OA=2，∠BOC=∠BAO=30°，

∴∠AOC=30°+30°=60°，

過點C作CD⊥OA于D，

則OD=×2=，

CD=2×=3，

所以，頂點C的坐標為（，3），

設過點O，C，A拋物線的解析式為為y=ax2+bx，

則，

解得：，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x；

（2）∵C（，3），

∴直線OC的解析式為：，

設點M到OC的最大距離時，平行于OC的直線解析式為，
聯立，
消掉未知數y并整理得，，
△=（）2-4m=0，
解得：m=．

∴，

∴；
∴點M到OC的最大距離=×sin30°=；

∵，

∴；

此時，M，最大面積為；

（3）∵∠OAP=∠BOC=∠BOA =30°，

∴，

∴直線AP與y軸的交點坐標為（0，2）或（0，﹣2），

當直線AP經過點（，0）、（0，2）時，解析式為，

聯立，

解得，．

所以點P的坐標為（，），

當直線AP經過點（，0）、（0，﹣2）時，解析式為，

聯立

解得，；

所以點P的坐標為（，）．

綜上所述，存在一點P（，）或（﹣，﹣），使∠OAP=∠BOA．