Question

24、如圖，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過B、C向過A的直線作垂線，垂足分別為E、F．
（1）如圖①過A的直線與斜邊BC不相交時，求證：EF=BE+CF；
（2）如圖②過A的直線與斜邊BC相交時，其他條件不變，若BE=10，CF=3，求：FE長．

Answer 1

分析：此題根據已知條件容易證明△BEA≌△AFC，然后利用對應邊相等就可以證明題目的結論；（2）根據（1）知道
△BEA≌△AFC仍然成立，再根據對應邊相等就可以求出EF了．

解答：證明：（1）∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠EBA，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC，BE=AF．
∴EF=EA+AF．

（2））∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△ABF中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC=3，BE=AF=10．
∴EF=AF-CF=10-3=7．

點評：此題主要考查了全等三角形的性質與判定，利用它們解決問題，經常用全等來證線段和的問題．