Question

如圖，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)在B點(diǎn)的拋物線交x軸于點(diǎn)A、D，交y軸于點(diǎn)E，連接AB、AE、BE．且A（3，0），D（-1，0），E（0，3）．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）探究：坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P，使以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)△AOE沿x軸正方向平移t個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜t≤3）時(shí)，△AOE與△ABE重疊部分的面積為s，請(qǐng)直接寫出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知A、D、E三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可確定拋物線的解析式，進(jìn)而能得到頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，即AE=3BE，若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，那么該三角形必須滿足兩個(gè)條件：①有一個(gè)角是直角，②兩直角邊滿足1：3的比例關(guān)系；然后分情況進(jìn)行求解即可；
（3）過E作EF∥x軸交AB于F，當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在EF之間時(shí)，△AOE與△ABE重疊部分是個(gè)四邊形；當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)右側(cè)時(shí)，△AOE與△ABE重疊部分是個(gè)三角形．按上述兩種情況按圖形之間的和差關(guān)系進(jìn)行求解．
解答：解：（1）由題意，設(shè)拋物線解析式為y=a（x-3）（x+1），
將E（0，3）代入上式，解得：a=-1．
∴y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）在△ABE中，∵AB²=（3-1）²+（0-4）²=20，AE²=（3-0）²+（0-3）²=18，BE²=（1-0）²+（4-3）²=2，
∴AB²=AE²+BE²，
∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE===，sin∠BAE===，cos∠BAE===．
若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則△DEP必為直角三角形．
①DE為斜邊時(shí)，P₁在x軸上，此時(shí)P₁與O重合；
由D（-1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE，
滿足△DEO∽△BAE的條件，因此O點(diǎn)是符合條件的P₁點(diǎn)，坐標(biāo)為（0，0）．
②DE為短直角邊時(shí)，P₂在x軸上；
若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則∠DEP₂=∠AEB=90°，sin∠DP₂E=sin∠BAE=；而DE==，
則DP₂=DE÷sin∠DP₂E=÷=10，OP₂=DP₂-OD=9，
即：P₂（9，0）；
③DE為長(zhǎng)直角邊時(shí)，點(diǎn)P₃在y軸上；
若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則∠EDP₃=∠AEB=90°，cos∠DEP₃=cos∠BAE=；
則EP₃=DE÷cos∠DEP₃=÷=，OP₃=EP₃-OE=；
綜上，得：P₁（0，0），P₂（9，0），P₃（0，-）；

（3）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．
將A（3，0），B（1，4）代入，
得，解得，
∴y=-2x+6．
過點(diǎn)E作射線EF∥x軸交AB于點(diǎn)F，當(dāng)y=3時(shí)，得x=，
∴F（，3）．
情況一：如圖1，當(dāng)0＜t≤時(shí)，設(shè)△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于點(diǎn)H，MN交AE于點(diǎn)S．
則ON=AG=t，過點(diǎn)H作LK⊥x軸于點(diǎn)K，交EF于點(diǎn)L．
由△AHG∽△FHM，得=，
即=，解得HK=2t．
∴S_陰=S_△MNG-S_△SNA-S_△HAG=×3×3-（3-t）²-t•2t=-t²+3t；
情況二：如圖2，當(dāng)＜t≤3時(shí)，設(shè)△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于點(diǎn)I，交AE于點(diǎn)V．
由△IQA∽△IPF，得=，
即=，解得IQ=2（3-t）．
∵AQ=VQ=3-t，
∴S_陰=IV•AQ=（3-t）²=t²-3t+．
綜上所述：s=．
點(diǎn)評(píng)：該題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定、圖形面積的解法等重點(diǎn)知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．此題的難點(diǎn)在于后兩個(gè)小題，它們都需要分情況進(jìn)行討論，容易出現(xiàn)漏解的情況．在解答動(dòng)點(diǎn)類的函數(shù)問題時(shí)，一定不要遺漏對(duì)應(yīng)的自變量取值范圍．