Question

如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN，則折痕MN的長(zhǎng)是（ ）

A．4cm
B．4cm
C．4cm
D．4cm

Answer 1

【答案】分析：過(guò)M作MG垂直CD交CD于G，根據(jù)勾股定理或解直角三角形的知識(shí)，于是想到直角三角形ECN，根據(jù)已知條件知EN=DN，而CN+DN=8，于是利用勾股定理可求CN，∠NEC的余弦，再根據(jù)倍角公式可求得cos∠MNG，從而求得GN，最后根據(jù)勾股定理求解．
解答：解：設(shè)CN=xcm，因?yàn)槭茄刂鳰N對(duì)折，對(duì)折前后圖形對(duì)稱(chēng)，則
EN=DN=（8-x）cm，E是中點(diǎn)，CE=4cm，據(jù)勾股定理，有
4²+x²=（8-x）²，
解得x=3，即CN=3cm．
過(guò)M作MG⊥CD交CD于G，易知MG=8cm，∠MNE=∠MNG=∠ENG，
而∠ENG=180°-∠ENC，cos∠ENC=，
可求得cos∠ENG=-，
再利用倍角公式 2（cos α）²-1=cos 2α，
可求得cos∠MNG=，
從而cot∠MNG=，
于是GN=×8=4cm，AM=DN=8-CN-GN=1cm．
GN=CD-CN-AM=4CM，
根據(jù)勾股定理MN²=AD²+GN²=80，
∴MN=4．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：考查了翻折問(wèn)題，翻折問(wèn)題關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)重合的量，哪些邊、角是相等的．本題中DN=EN是解題關(guān)鍵，再利用勾股定理的知識(shí)就迎刃而解．