Question

【題目】如圖，點A，B，C在一條直線上，△ABD，△BCE均為等邊三角形，連接AE和CD，AE分別交CD，BD于點M，P，CD交BE于點Q，連接PQ，BM，下面結論：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ為等邊三角形；④MB平分∠AMC，
其中結論正確的有（　　）

A.1個
B.2個
C.31個
D.4個

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵△ABD、△BCE為等邊三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中， ，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正確；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
∴②正確；
在△ABP和△DBQ中， ，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ為等邊三角形，
∴③正確；
∵∠DMA=60°，
∴∠AMC=120°，
∴∠AMC+∠PBQ=180°，
∴P、B、Q、M四點共圓，
∵BP=BQ，
∴ ，
∴∠BMP=∠BMQ，
即MB平分∠AMC；
∴④正確；
綜上所述：正確的結論有4個；
故選：D．