Question

某倉庫為了保持庫內的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施．該設施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等邊三角形，固定點E為AB的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿．

（1）當MN和AB之間的距離為0.5米時，求此時△EMN的面積；

（2）設MN與AB之間的距離為米，試將△EMN的面積S（平方米）表示成關于x的函數； 

（3）請你探究△EMN的面積S（平方米）有無最大值，若有，請求出這個最大值；若沒有，請說明理由．   

 

Answer 1

解：（1）由題意，當MN和AB之間的距離為0.5米時，MN應位于DC下方，且此時△EMN中MN邊上的高為0.5米.

所以，S△EMN= =0.5（平方米）.

即△EMN的面積為0.5平方米.

（2）①如圖1所示，當MN在矩形區域滑動，

即0＜x≤1時， 

△EMN的面積S=x；

②如圖2所示，當MN在三角形區域滑動，

即1＜x＜+1 時，

如圖，連接EG，交CD于點F，交MN于點H，

∵ E為AB中點，

∴ F為CD中點，GF⊥CD,且FG＝.

又∵ MN∥CD，

∴ △MNG∽△DCG．

∴，即 MN=6+2-2x／3

故△EMN的面積S＝（3+）x-x²／3

綜合可得： 

S=

（3）①當MN在矩形區域滑動時，所以有最大值1／2 ；

②當MN在三角形區域滑動時，S=（3+）x-x²／3  .

因而，當x= .+1／2（米）時,S得到最大值，

最大值S=.+1／4（平方米）.

∵1／2＜.+1／4  ，

∴ S有最大值，最大值為.+1／4平方米.