Question

如圖，已知：△ABC為等邊三角形，D、F分別為射線BC、射線AB邊上的點，BD=AF，以AD為邊作等邊△ADE．
（1）如圖①所示，當點D在線段BC上時：
①試說明：△ACD≌△CBF；②判斷四邊形CDEF的形狀，并說明理由；
（2）如圖②所示，當點D在BC的延長線上時，判斷四邊形CDEF的形狀，并說明理由．
（3）當點D在射線BC上移動到何處時，∠DEF=30°，并說明理由．

Answer 1

解：（1）①∵△ABC、△ADE是等邊三角形，
∴∠ACD=∠B=∠BAC=60°，∠ADE=60°，AD=DE，AC=BC=AB，
∵BD=AF，
∴CD=BF，
∵在△ACD和△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（SAS），
②判斷四邊形CDEF的形狀是平行四邊形，理由是：
∵△ACD≌△CBF，
∴∠BCF=∠DAC，AD=CF，
∵AD=DE，
∴DE=CF，
∵∠ACD=∠ADE=60°，∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠ACD+∠DAC，
∴60°+∠DAC=60°+∠BDE，
∴∠DAC=∠BDE，
∵∠BCF=∠DAC，
∴∠BDE=∠BCF，
∴DE∥CF，
∵DE=CF，
∴四邊形CDEF的形狀是平行四邊形；

（2）四邊形CDEF的形狀是平行四邊形，
理由是：∵∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠ACD=∠FBC=120°，
∵BD=AF，BC=AB，
∴CD=BF，
∵在△FBC和△DCA中，
，
∴△FBC≌△DCA（SAS），
∴∠DAC=∠BCF，FC=AD，
∵AD=DE，
∴FC=DE，
∵∠ACB=60°=∠DAC+∠ADC=∠BCF+∠ADC，
∠ADE=60°=∠ADC+∠CDE，
∴∠BCF=∠EDC，
∴CF∥DE，
∵FC=DE，
∴四邊形CDEF是平行四邊形；

（3）點D在邊BC的中點上時，∠DEF=30°，
理由是：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵點D在邊BC的中點上，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
∴∠BCF=∠DAC=30°，
∵四邊形CDEF是平行四邊形，
∴∠DEF=∠DCF=30°，
即點D在邊BC的中點上時，∠DEF=30°．
分析：（1）①根據等邊三角形的性質推出∠ACD=∠B=∠BAC=60°，∠ADE=60°，AD=DE，AC=BC=AB，求出CD=BF，根據SAS證出△ACD≌△CBF即可；②根據全等三角形的性質得出∠BCF=∠DAC，AD=CF，求出DE=CF，求出∠BDE=∠BCF，推出DE∥CF，根據平行四邊形的判定推出即可；
（2）求出∠ACD=∠FBC=120°，CD=BF，根據SAS證出△FBC≌△DCA，推出∠DAC=∠BCF，FC=AD，求出FC=DE，求出∠BCF=∠EDC，推出CF∥DE，根據平行四邊形的判定推出即可；
（3）點D在邊BC的中點上時，∠DEF=30°，根據等腰三角形的性質得出∠DAC=∠BAC=30°，推出∠BCF=∠DAC=30°，∠DEF=∠DCF=30°，即可得出答案．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質等知識點的應用，主要考查學生的推理能力，題目比較典型，證明過程類似．