Question

（2009•十堰）如圖①，四邊形ABCD是正方形，點G是BC上任意一點，DE⊥AG于點E，BF⊥AG于點F．
（1）求證：DE-BF=EF；
（2）當點G為BC邊中點時，試探究線段EF與GF之間的數量關系，并說明理由；
（3）若點G為CB延長線上一點，其余條件不變．請你在圖②中畫出圖形，寫出此時DE、BF、EF之間的數量關系（不需要證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題的關鍵是求三角形ADE和ABF全等，以此來得出DE=AF=AE+EF=BE+EF，這兩個三角形中已知的條件有AD=BA，一組直角，關鍵是再找出一組對應角相等，可通過證明∠DAF和∠ABF來實現．（通過平行和等角的余角相等來證得）
（2）可通過證明三角形ABG、ABF、BFG相似來得出AB，BG；AF，BF；BF，BG之間的比例關系，根據AB=2BG，來得出AF，BF，BF，FG之間的比例關系，然后根據（1）中得出的結果來求BF，FG的大小關系．
（3）方法同（1）還是正三角形ADE和ABF全等，得出DE=AF，BF=AE，只不過本題的結論是DE+BF=EF．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，AF=DE，
∴DE-BF=AF-AE=EF．

（2）解：EF=2FG，
理由如下：
∵AB⊥BC，BF⊥AG，AB=2BG，
∵∠BAG=∠GBF，
∴△ABG∽△BFG，
同理可得，△AFB∽△BFG∽△ABG，
∴===2，
∴AF=2BF，BF=2FG，
由（1）知，AE=BF，
∴EF=AF-AE=AF-BF=BF=2FG．

（3）解：如圖，DE+BF=EF．
點評：本題中通過全等三角形得出簡單的線段相等以及利用相似三角形的對應邊成比例是解題的關鍵所在．