Question

某公司生產的一種健身產品在市場上受到普遍歡迎，每年可在國內、國外市場上全部售完．該公司的年產量為6千件，若在國內市場銷售，平均每件產品的利潤y₁（元）與國內銷售量x（千件）的關系為：

y₁=

若在國外銷售，平均每件產品的利潤y₂（元）與國外的銷售數量t（千件）的關系為

y₂=

（1）用x的代數式表示t為：t=　6﹣x　；當0＜x≤4時，y₂與x的函數關系為：y₂=　5x+80　；當　4　＜x＜　6　時，y₂=100；

（2）求每年該公司銷售這種健身產品的總利潤w（千元）與國內銷售數量x（千件）的函數關系式，并指出x的取值范圍；

（3）該公司每年國內、國外的銷售量各為多少時，可使公司每年的總利潤最大？最大值為多少？

Answer 1

考點：

二次函數的應用．

分析：

（1）由該公司的年產量為6千件，每年可在國內、國外市場上全部售完，可得國內銷售量+國外銷售量=6千件，即x+t=6，變形即為t=6﹣x；

根據平均每件產品的利潤y₂（元）與國外的銷售數量t（千件）的關系及t=6﹣x即可求出y₂與x的函數關系：當0＜x≤4時，y₂=5x+80；當4≤x＜6時，y₂=100；

（2）根據總利潤=國內銷售的利潤+國外銷售的利潤，結合函數解析式，分三種情況討論：①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6；

（3）先利用配方法將各解析式寫成頂點式，再根據二次函數的性質，求出三種情況下的最大值，再比較即可．

解答：

解：（1）由題意，得x+t=6，

∴t=6﹣x；

∵，

∴當0＜x≤4時，2≤6﹣x＜6，即2≤t＜6，

此時y₂與x的函數關系為：y₂=﹣5（6﹣x）+110=5x+80；

當4≤x＜6時，0≤6﹣x＜2，即0≤t＜2，

此時y₂=100．

故答案為6﹣x；5x+80；4，6；

（2）分三種情況：

①當0＜x≤2時，w=（15x+90）x+（5x+80）（6﹣x）=10x²+40x+480；

②當2＜x≤4時，w=（﹣5x+130）x+（5x+80）（6﹣x）=﹣10x²+80x+480；

③當4＜x＜6時，w=（﹣5x+130）x+100（6﹣x）=﹣5x²+30x+600；

綜上可知，w=；

（3）當0＜x≤2時，w=10x²+40x+480=10（x+2）²+440，此時x=2時，w_最大=600；

當2＜x≤4時，w=﹣10x²+80x+480=﹣10（x﹣4）²+640，此時x=4時，w_最大=640；

當4＜x＜6時，w=﹣5x²+30x+600=﹣5（x﹣3）²+645，4＜x＜6時，w＜640；

∴x=4時，w_最大=640．

故該公司每年國內、國外的銷售量各為4千件、2千件，可使公司每年的總利潤最大，最大值為64萬元．

點評：

本題考查的是二次函數在實際生活中的應用，有一定難度．涉及到一次函數、二次函數的性質，分段函數等知識，進行分類討論是解題的關鍵．