Question

（2002•河南）已知，如圖，△ABC內接于⊙O₁，AB=AC，⊙O₂與BC相切于點B，與AB相交于點E，與⊙O₁相交于點D，直線AD交⊙O₂于點F，交CB的延長線于點G．
求證：（1）∠G=∠AFE；（2）AB•EB=DE•AG．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD；若∠G=∠AFE成立，則EF必定和CG平行，那么一定有∠FEB=∠ABC；而在題中∠ABC=∠C，所以必須證明∠FEB=∠C，在這里可以以∠FDB為媒介；因為∠FEB和∠FDB為⊙O₂中同弧所對圓周角相等，同時∠FDB又是⊙O₁內接四邊形的一個外角所以∠FDB=∠C，因此最終可證明結論成立．
（2）證AB•EB=DE•AG，即證，而BE=BF可證，所以整個式子就又轉化為；而作為來講，由△ADE∽△ABF可得，由EF∥CG可得；由此可得出我們所要的結論．
解答：證明：（1）連接BD．
∵∠FEB=∠FDB，∠FDB=∠C，
∴∠FEB=∠C．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∴∠FEB=∠ABC．
∴EF∥CG．
∴∠G=∠AFE．

（2）連接BF．
∵∠ADE=∠ABF，∠DAE=∠BAF，
∴△ADE∽△ABF．
∴．
又∵EF∥CG，
∴即．
∵∠BEF=∠ABC，∠ABC=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE．
∴BE=BF．
∴，即AB•EB=DE•AG．
點評：此題主要考查的是在圓中相似三角形的判定和性質的應用，難易程度適中．