Question

已知：如圖，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足為E，點D與點A關于點E對稱，PB分別與線段CF，AF相交于P，M．
（1）求證：AB=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，請你判斷∠F與∠MCD的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點D與點A關于點E對稱易證AC=CD，再根據角平分線，及垂直得到AC=AB，可得答案AB=CD；
（2）易證∠CAD=∠CDA=∠MPC，∠CMA=∠BMA=PMF，可得到∠MCD=∠F．
解答：（1）證明：∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB=∠BAC，
∵D與A關于E對稱，
∴E為AD中點，
∵BC⊥AD，
∴BC為AD的中垂線，
∴AC=CD．
在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：證全等也可得到AC=CD）
∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB，
∴∠ACE=∠ABE，
∴AC=AB（注：證全等也可得到AC=AB），
∴AB=CD．

（2）解：∠F=∠MCD，理由如下：
∵∠BAC=2∠MPC，
又∵∠BAC=2∠CAD，
∴∠MPC=∠CAD，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠MPC=∠CDA，
∴∠MPF=∠CDM，
∵AC=AB，AE⊥BC，
∴CE=BE（注：證全等也可得到CE=BE），
∴AM為BC的中垂線，
∴CM=BM．（注：證全等也可得到CM=BM）
∵EM⊥BC，
∴EM平分∠CMB（等腰三角形三線合一）．
∴∠CME=∠BME（注：證全等也可得到∠CME=∠BME．），
∵∠BME=∠PMF，
∴∠PMF=∠CME，
∴∠MCD=∠F．（注：證三角形相似也可得到∠MCD=∠F）
點評：本題考查了等腰三角形的性質、軸對稱的性質及線段垂直平分線的性質；解題時需注意充分利用兩點關于某條直線對稱，對應點的連線被對稱軸垂直平分，進而得到相應的線段相等，角相等．