Question

提出問題：小明是個愛思考的學生，在學習了三角函數后小明發現：
sin90°=1，，90°是45°的兩倍，但三角函數值卻是倍；
sin30°=________，sin60°=________，60°是30°的兩倍，但三角函數值卻是________倍，
考慮到cos45°，cos30°的三角函數值，估計sin2α=2sinαcosα，代入檢驗發現以上兩組角度都符合．
解決問題：那么如何證明sin2α=2sinαcosα呢？
小明思考再三，發現在△ABC中（圖2），高AD=ABsinB，可得，
利用這個結論證明上述命題結論．聰明的你也能解決這個問題嗎？
如圖2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，設∠BAD=α，求證：sin2α=2sinαcosα．
推廣應用：解決了以上問題后，小明思考再三，終于發現了sin（α+β）與sinα，cosα，sinβ，cosβ的關系，
你能結合圖3證明出自己所猜想的sin（α+β）與sinα，cosα，sinβ，cosβ的關系嗎？
并利用上述關系求出sin75°的值（保留根號）．

Answer 1

        
分析：把30°，60°的正弦值代入并計算即可填空；
解決問題：根據題目信息，利用角2α與α表示△ABC的面積，S_△ABC=2S_△ABD，然后整理，再根據余弦定義，余弦=鄰邊：斜邊，進行代換即可證明；
推廣應用：證明思路與解決問題相同，利用角α與β表示△ABD的面積，S_△ABD=S_△ABC+S_△ACD，然后整理，再根據余弦定義，余弦=鄰邊：斜邊，進行代換即可證明，把75°分成30°與45°的和，然后把特殊角的三角函數值代入計算即可．
解答：提出問題：
sin30°=，sin60°=，60°是30°的兩倍，但三角函數值卻是倍；
解決問題：如圖2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，設∠BAD=α．
求證：sin2α=2sinαcosα，
證明：根據題目信息，S_△ABC=AB•ACsin2α，S_△ABD=AB•ADsinα，
∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴S_△ABC=2S_△ABD，
∴AB•ACsin2α=2×AB•ADsinα，
即sin2α=2sinα×，
在Rt△ADC中，=cosα，
∴sin2α=2sinαcosα；
推廣應用：結論：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，
證明：S_△ABD=AB•ADsin（α+β），S_△ABC=AB•ACsinα，S_△ACD=AC•ADsinβ，
∵S_△ABD=S_△ABC+S_△ACD，
∴AB•ADsin（α+β）=AB•ACsinα+AC•ADsinβ，
即sin（α+β）=sinα×+sinβ×，
在Rt△ACD中，=cosβ，
在Rt△ABC中，=cosα，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；
并利用上述關系求出sin75°的值（保留根號）．
sin75°=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=．
點評：本題通過題目提供信息考查了解直角三角形，特殊角的三角函數值，讀懂題目信息并根據信息表示出三角形的面積是解題的關鍵．