Question

如圖，一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數y=

k

x

的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，已知OA=

5

，tan∠AOC=

1

2

，點B的坐標為(

1

2

，m)．
（1）求反比例函數和一次函數的解析式；
（2）根據圖象寫出使一次函數的值小于反比例函數的值的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知∠AOC的正切值，那么應構造∠AOC所在的直角三角形，得到點A的坐標，即可求得反比例函數，進而得出點B的坐標，把A、B坐標代入待定系數的解析式中，即可求得一次函數解析式．
（2）一次函數的值小于反比例函數的值即一次函數的圖象在反比例函數的圖象下方，根據圖形可知在交點的右邊一次函數的值小于反比例函數的值．

解答：解：（1）過點A作AD⊥x軸于點D，得2AD=DO
∵由勾股定理，可得AD=1，DO=2，
∴點A（-2，1），k=-2；
故反比例函數的解析式為y=-

2

x

∵點B在反比例函數上，
∴m=-

2

1 2

，得m=-4，
∵A，B在一次函數的上，
∴

-2a+b=1 1 2 a+b=-4

，解得

a=-2 b=-3

∴一次函數的解析式為y=-2x-3

（2）由圖象可知，當-2＜x＜0或x＞

1

2

時一次函數的值小于反比例函數的值．

點評：本題綜合考查一次函數與反比例函數的圖象與性質，同時考查用待定系數法求函數解析式．本題需要注意無論是自變量的取值范圍還是函數值的取值范圍，都應該從交點入手思考；需注意反比例函數的自變量不能取0．