Question

如圖，△PBD中，∠DPB=90°，O為PD上一點，以OD為半徑作⊙O分別交BD、PD于A、C，連PA，若∠PAC=∠D．
（1）求證：PA為⊙O的切線；
（2）若AD：AB=2：3，求tan∠APC的值．

Answer 1

解：（1）∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
又∵∠PAC=∠D，
∴∠PAC+∠OAC=∠D+∠OCA，
∵CD是直徑，
∴∠CAD=90°，
∴∠D+∠OCA=90°，
∴∠PAC+∠OAC=90°，
即∠OAP=90°，
∴AP是⊙O的直徑；

（2）∵CD是直徑，
∴∠CAD=90°，
∴∠CAM=90°，
∴∠PAM+∠PAC=90°，
又∵∠BPD=90°，
∴∠D+∠B=90°，
又∵∠PAC=∠D，
∴∠B=∠PAB，
∴PA=PB，

作PM⊥AB，設AD=2x，AB=3x，
∴AM=BM=x，
∵∠CAD=∠PMD=90°，
∴AC∥PM，
∴CD：PD=DA：DM=4：7，
∴若CD=4a，DP=7a，那么OC=OA=2a，CP=3a，
∴OP=OC+CP=5a，
∴AP==a，
∴tan∠APC==．
分析：（1）由OA=OC，利用等邊對等角，可得∠OCA=∠OAC，而∠PAC=∠D，利用等式性質，有∠PAC+∠OAC=∠D+∠OCA，而CD是直徑，于是∠CAD=90°，那么∠D+∠OCA=90°，所以∠PAC+∠OAC=90°，即∠OAP=90°，從而可證AP是⊙O的切線；
（2）CD是直徑，可得∠CAD=90°，則∠CAM=90°，即∠PAM+∠PAC=90°，又∠BPD=90°，利用三角形內角和定理，可知∠B+∠D=90°，又由已知∠PAC=∠D，利用等角的余角相等，可得∠B=∠PAB，利用等角對等邊，可知PA=PB，作PM⊥AB，設AD=2x，AB=3x，利用中點定義有AM=BM=x，又由于∠CAD=∠PMD=90°，根據同位角相等，兩直線平行，可得AC∥PM，因此有CD：DP=DA：DM=4：7，若CD=4a，DP=7a，那么OA=OC=2a，CP=3a，則OP=5a，利用勾股定理可求AP=a，從而易求tan∠APC==．
點評：本題利用了等邊對等角、等式性質、直徑所對的圓周角等于90°、切線的判定、等角的余角相等、平行線分線段成比例定理、勾股定理、等角對等邊．